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Hermite矩阵与反Hermite矩阵

时间:2020-03-27 13:55

  Hermite矩阵是矩阵类中的一种特殊形式,它在矩阵理论中处于重要的地位,尤其是在酉空间、酉变换及复系数二次型的应用中起着主导的作用,它一方面是对实对称矩阵的推广,另一方面它在复矩阵的地位相当于实数在复数C的地位,复矩阵中的Hermite矩阵与实对称矩阵在其性质和证明方法上都十分的相似,本文主要从Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义、性质、基本定理和Hermite矩阵的正定性四个方面讨论Hermite矩阵和反Hermite矩阵.

  一、引言 ································································································· (01) 二、Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义 ··························· (01) 三、Hermite矩阵的性质定理

  (一)Hermite矩阵的性质 ··································································(02) (二)Hermite矩阵的定理 ··································································(02) (三)Hermite矩阵的正定性 ······························································(05)

  (一)反Hermite矩阵的性质 ·····························································(14) (二)反Hermite矩阵的定理 ·····························································(15)

  五、结论 ································································································· (20) 参考文献 ················································································· (21) 致谢 ························································································· (22)

  众所周知,矩阵理论在历史上至少可追溯到Sylvester与Cayley,特别是Cayley1858年的工作.近代数学的一些学科,如代数结构理论与泛函分析可以在矩阵理论中寻到它们的根源,另一方面,随着计算机的广泛应用,矩阵理论在不断地发展,矩阵已成为处理数值问题的有力工具.

  作为数学的一个重要分支,矩阵理论具有极为丰富的内容,在数学以及其他科学技术领域都有十分重要的应用,如数值分析、最优化理论、运筹学与控制论、概率论与数理统计、力学、电学、信息科学、管理科学与工程技术等都与矩阵理论有着密切的关系.对称矩阵是一类非常重要的矩阵,近年来,在矩阵理论中,Hermite矩阵的应用越来越广泛,对其研究也取得很大的进展.在复矩阵中,Hermite矩阵实际上是实对称矩阵的推广,它在复矩阵中的地位相当于实数在复数中的地位,本文主要从Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义、性质,基本定理以及Hermite矩阵正定性几个方面讨论Hermite矩阵和反Hermite矩阵并给出了相关的证明,来加深对矩阵理论的理解,从而能更好地使用这些工具.

  定义 2 设A是一个n阶Hermite 矩阵,若对于任一非零的n维复向量X,均有XHAX>

  0,则称A为Hermite 正定矩阵.

  定义 3 设A是一个n阶复矩阵,AH为A的共轭转置,若AAH=AHA,则称A为正规矩阵.

  定义 4 设A是一个n阶复矩阵,AH为A的共轭转置,AHA=AAH=E,

  (5)如果A,B是Hermite矩阵,则AB是Hermite矩阵的充分必要条件是

  (6)A是Hermite矩阵的充分必要条件是对于任意n阶方阵S,SHAS是Hermite矩阵.

  定理3-1 若A是n阶复矩阵,则A是Hermite矩阵的充分必要条件是对于任意X?Cn,XHAX是实数;

  定理3-2[4](Hermite矩阵的谱定理) 设A?Cn′n是给定的,则A是Hermite矩阵当且仅当存在一个酉矩阵U?Cn′n和一个实对角矩阵L Cn′n,使得

  矩阵(即实对称的),当且仅当存在一个实正交矩阵P?Cn′n和一个实对角矩阵

  虽然Hermite矩阵的实线性组合总是Hermite矩阵,但它们的复线性组合就不一定是Hermite矩阵,例如,如果A是Hermite矩阵,那么,只有当A=0时iA才是Hermite矩阵.另外,如果A和B是Hermite矩阵,那(AB)H=BHAH=BA,因此,AB是Hermite矩阵,当且仅当A与B可交换.

  定理3-3 设A为n阶Hermite矩阵,则 (ⅰ)A是正规矩阵且所有特征值全是实数;

  证明 (ⅰ)A为n阶Hermite矩阵,由定理3-2可知A必酉相似于实对角矩阵L,即存在n阶酉矩阵U,使得