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厄米特矩阵逆的一种求算法pdf

时间:2020-03-27 13:54

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  维普资讯 1993年第4期 声学与 电子工程 总第32期 1 cf.、 厄米特矩阵逆的一种求算法 张焕炯 = __ _- ‘’ 。 —— 一 (第七一五研宄所) 摘要 在水声信号处理中,经常碰到求复厄米 特矩阵逆的运算。本文应用酉空 间理论。以酉 变换作为手段。求得了一种新的行之有效前求逆算法。井给出了具体的计算步 骤 。 j毛键词 厄米特矩阵 逆运算 酉矩阵 L 己 . ’ ‘ — ’ ’ ’ 一 - , · - ‘ ‘ 一 一 — — — — — — — — — — — — — — — — 一 l 引言 在水声信号处理中,经常要求算复矩阵的逆,尤其在信号处理的谱分析中,互谱矩阵为复 厄米特矩阵,需要用厄米特矩阵的逆矩阵进行参量估计。因此。求厄米特矩阵的逆是信号处理 中很重要 的一环 。 本文提出求厄米特矩阵逆的一种算法。这一算法便于在计算机上实现.可以作为求逆运算 的一种通用方法.具有较大的实用性。 2 理论推导 设有一个n阶复厄米特矩阵A.记为 ll 12 … … aln l 2 22 … … 。 I I a ln a … … ann 一 其中 ·表示共轭 。A满足An=A (H表示共轭转置).其元素气一般为复数.但主对角线元 素a;.为实数。Y.A的行~ detA ≠o。根据酉空间理论….对于A ,一定存在酉矩阵C ,使 C AC为对角阵。设C “AC B=diag(^,…. )(diag表示对角矩阵), (it 1,2,…, 月 )为实数.且 由于detB =detC AC detC “C detA detA≠0,知 都不为零.易知B 的逆为B一1一diag(1,^ ”,I/^),显然必须满足^{≠0的条件 对C “AC—B两边作逆运算 (CHAC)一1一B--,可 以得到A = CB—tCH 由于B一已经求得,c和C 已知,故A 可通 过对角矩阵和酉矩阵的乘积运算来实现。 一 8 一 维普资讯 3 算法的实现 这里要求找到酉矩阵C,并由CHACIB求得口。但是.直接找c和求B是办不到的。现 其 在改变一下思路.不直接找酉矩阵C而是作一系列酉矩阵 和 .并相应地作 At c 一 中 之类 的乘法.使得这样乘得的矩阵趋向于对角矩阵B 用数学描述就是:在已知A的前提 下.作出酉矩阵QNc “.并作矩阵的乘积c。HAC-A。.然后在A。的基础上再作出酉矩阵C2 和 “,并作矩阵的乘积 A。 。A:.如此作下去.直到最后在已舞M 的前提下.作酉 一 矩阵 和c .作矩阵乘法c A 一 C-A 这样.只要作出的 和 “满足一定的要求 (下面 。 将具体叙述)就能使A 趋 向于B diag ( . :.…, ),也就是说根据矩 阵分 析理论 IA 的非对角元素趋于或等于零。在近似计算中.当Ar。的非对角元素的模平方很小时, A 就可 以认为A 即是所求的B。 = P...。,...........L 这里预先说明两个事实.一是有限个酉矩阵的乘积仍旧是酉矩阵.二是厄米特矩阵在作酉 变换后仍为厄米特矩阵。证明这些事实是容易的,这里不给出具体汪明。 A A A 儿 因为c田HA 一。 A .在A口i匠似于口时。饰 的逆A 一.就可舍去Am中的非对角元素, 得A diag(1/a ’,….1 ’)这样就可反过来求A-I。根据推导.A cq… A [ … A A A 恐 C ,从而得A 【 …c 】A 【…c 】 根据酉矩阵的性质.Cl…Cm仍为酉矩 阵 因此,求c2…CI时应用c …Cl (…c )可以节省很多计算量。 现在我们来具体作c和cg。已知A中按对角线对称的一对非对角元素满足 ,一 ,且不 为零。用C Ac作乘积运算后.这些元素将由非零化为零。具体作法如下:设在进行 次运算 N~ ,JA ,且A 中 ’和 非零:选择酉矩阵 +和 +“。使 .tSA 中的(t,j) . +。 位置和u,i)位置 )上的元素为零.即日t ”‘ 0 设t 。把矩阵A 划分 成如下9块.记为 … a … … l Al2= … a 。 一 9 一 维普资讯 a ● ● ● ● ● ● a J k A II 。 . . . 。 . . . . . . . . 1 a { ) 卜 ~ ¨ ㈤ a r.....。。.............。....L 卧 2L A ,A】I A A = A l3 , a 怍酉矩阵 .口 记 , 0 +。 , a n n n ●●●●●J 。。 觯位l; 。 ~。~ t= 。 M 。 . . 。 , . . . . . . . . . . . 。 L [ A O O I O 盟 O O If 1 . 其中 为(t—1)阶单位矩阵, 为佃-j) —......,.....。..........L 一 。 吖M 为 (,+1-/)阶矩阵。同时使Air也为 n 1●●●●● ●●J 七 . 置 M = 0 一 r2e 1●, ●● ●●J 1●●●●,, j 其中 ‘和 为大于零的数.且满足 ‘+ ‘:aI . 0在 [0,2砷之问 易知 l 0 ” 0 一 2e‘。] f M H : f=M r2e-Le 。 … 0 r】 f 一 l0 一 维普资讯 故其为酉矩阵。 ft, ‘.日 则ct+ 和 +。都确定下来 作c +。nA A 即 A u A I2 0 13 A I2H A 22 0 l o o A En — J A lI A l2M A I3 M HA H M HA r ● 0 l 12 22M M 23 A K. 中 r 』I r●● ● ‘1 ● 确定吼 1O ●O●● ¨¨ A I3H A HM A 玎 有 , 23 町 ( & + + 需要说明的是。按照上述方法分块.小块矩阵乘积是台理的,不会出错。写出A 矩阵中 Il = 1 l 小块矩阵的元素井与A 矩阵的元素进行比较.可得 出它们的元素之闻有 以下关系:它们的 a e w 行.J行.0列。』列的元素有变化,而其它位置上的元素不变。具体 的关系为 七 ) a 一 在A 【 矩阵块 中有 f 2 = , a . , e-~O + a 廿 r 1≤P ≤i一1 { 日 七 廿+ 七 = , ap e r .ap ¨ —..。.。....................... . L + 0 0 在M A12H矩阵块 一 玉 七 r2 e。 a 丘 g O O = rIap 一 p 1≤P ‘£一 1 = l2e ap + ,Iap 在M aA 矩阵块中有 在AnMM 矩阵块 中有 七 七 12e.-~o 一 a = r a。 a 』+1 ‘g≤n aJ ” =r2e a aJ ’ 一 1l — 维普资讯 关于 lljAI.^l3n, .它们的元素不变。最后关于M AuM ,有以下关系 ∥ 日a 一‘FIF2e-~.0 +r k)+ r , eze+ r , e -~.0 a ‘ ] 。JJ‘ 。 + : , ]f2 ~i , 。 ∥ ” tea ‘ak)e2~O+ra 棚a 广 、 t+ ‘: , e ) 一 a; r;ak)e-2i.8+ra 一,t,:e‘‘a 。 : r● 、●● 、 r 、 、 而且有 “ 巩 气 + f + r ^ = r = l r rlI __“ a t a e 2 r 十 p ¨ 一 , r 一 2 r a 2 卜 f 屯. + r , + 根据要求. ,一P , 一 0.则r,,T2,B满足如下的条件方程 ” 山 n , fr ·r;=1 {Rea ”=o L a 川 ;0 进而确定M M “和 +“。 余下要说明的是这样选择的酉矩阵是可行的、的确能使 趋向于 g(^,, ,… ’ )。当多次迭代以后,~ Shur定理。和‘向量作酉变换后其模不变的原理,A 和 的元素 的n模平方和不变 比较^ 和 的对角线元素的模平方和可知,除了改变了 “和 以 。 外.其它均不变 经过直接验算得: (七+ :+Ia』 】:=lB订上‘I+la』七’{+2lat』七l 因此当L-+ 时有 W = ∑{a 1z丑 。 = 】 这样也就找到 了控制迭代的控制变量Wo 是一个非常重要 的量,它表征了矩阵对角化的程 度。当w小于一定程度时.符合所要求的精度,l就停止选代,把求得的^I看成 .将 中非对 一 l2 一 维普资讯 角线上的元素都略去.并作对角线元素的倒数运算 求得 diag(1laII ,….1 )。 这在计算机上是容易实现的。再作酉矩阵c.,g,. - 。 c 的乘积运算和(C…c )运算.最后 求得^ (…c)A用 (…c_町)。 这样.我们就通过 酉变换的方式.得到 了完整的求 的算法。现在进一步把计算步骤加 以归纳.即可得出编程框架。 (1)计算^的控制变量W —zl弓。l (1,Jt1,2,…,n.t )。当W 不符台计算所允 许的误差时.找出非零的非对角元素鸟和 : (2)由11, ‘.0 满足 的条件方程求得,., ‘.0 ,确定蛆 C。和Cn: (3)按照^短阵备分块矩阵元素的公式(其中气 CI)。 )求得^。: (4)以A.代替^.重新求W 和找出非零非对角线)的步骤.求出A, 如 此类推.直到 满足误差的要求.停止迭代: (5)舍去最后一次迭代求得的^ 中非对角线元素.作^ diag(1laII ,…,1laaI (6)作酉矩阵c…c 的乘积.求 c【。… 】: (7)作 【… 】^ {… 】运算.求得^ ; (8)得出结果,停止运算。 4 结束语 通过上述运算和推导.给出了求复厄米特矩阵逆的一种算法。根据推导和计算机实际运算 证明.这是一种行之有效的算法.因为用计算机作矩阵的乘法和对对角矩阵求逆是容易实现的。 在本算法中.设置控制变量是十分重要的.今后应进一步改进变量的设置和优化程序 我 们希望.经过努力.能给出一个比较完善的程序.作为水声信号处理 的一种典型方法。 关于本算法的性能和程序.拟在以后的文章中具体加以讨论。 本文是在诸多师长的指导下完成的.特别是单秉彝高工给予 了十分重要的指导和帮助。在 此表示真挚的谢意 ! 参 考 文 献 1北京大学数学力学系编.高等代数.北京:高等教育出版社. 1978 2王靼瑞.史荣昌编 .矩阵分析.北京 北京理工大学出版社. 1989 3际大新犏著.矩阵理论.上海:上海交通大学出版社. 1991 4棘苹蕞编著.计算方法引论.北京:高等教育出版社. 1985 一 J3 一

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