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厄米特矩阵

时间:2020-03-23 01:06

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  厄米特矩阵(Hermitian Matrix,又译作“埃尔米特矩阵”或“厄米矩阵”),指的是自共轭矩阵。矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的共轭相等。埃尔米特矩阵主对角线上的元素都是实数的,其特征值也是实数。

  将一矩阵A的行与列互换,并取各矩阵元素的共轭复数,得一新矩阵,称为厄米特共轭,以A

  n阶复方阵A的对称单元互为共轭,即A的共轭转置矩阵等于它本身,则A是厄米特矩阵(Hermitian Matrix)。

  由定义得知,厄米特矩阵的对角线上各元素必为实数。通常厄米特矩阵并不对称,除非所有元素均为实数。厄米特矩阵的特殊性质是其本征值一定是实数。

  在物理系统中,其可观察的物理量(例如坐标、动量、能量等等),在量子力学中可视为一算符,此算符有对应的本征向量和本征值,算符所对应的本征向量代表物理系统的状态,物理量发的结果就是本征值。因此,如用矩阵表示算符,则一定是厄米特矩阵,因为厄米特矩阵的本征值为实数,所以也是可观察的量。

  显然,埃尔米特矩阵主对角线上的元素都是实数的,其特征值也是实数。对于只包含实数元素的矩阵(实矩阵),如果它是对称阵,即所有元素关于主对角线对称,那么它也是埃尔米特矩阵。也就是说,实对称矩阵是埃尔米特矩阵的特例。

  若A和B是埃尔米特矩阵,那么它们的和A+B也是埃尔米特矩阵;而只有在A和B满足交换性(即AB=BA)时,它们的积才是埃尔米特矩阵。

  埃尔米特矩阵是正规矩阵,因此埃尔米特矩阵可被酉对角化,而且得到的对角阵的元素都是实数。这意味着埃尔米特矩阵的特征值都是实的,而且不同的特征值所对应的特征向量相互正交,因此可以在这些特征向量中找出一组C的正交基。

  的实向量空间,因为主对角线上的元素有一个自由度,而主对角线之外的元素有两个自由度。

  如果埃尔米特矩阵的特征值都是正数,那么这个矩阵是正定矩阵,若它们是非负的,则这个矩阵是半正定矩阵。

  (1)n阶厄米特矩阵A为正定(半正定)矩阵的充要条件是A的所有特征值大于(大于等于)0。

  (2)若A是n阶厄米特矩阵,其特征值对角阵为V,则存在一个酉矩阵U,使AU=UV。

  (3)若A是n阶厄米特矩阵,其弗罗伯尼范数的平方等于其所有特征值的平方和。

  (4)主对角线元素皆为实数的埃尔米特矩阵的特征值均为实数,斜埃尔米特矩阵的特征值为零或纯虚数。

  对称矩阵与尼米特矩阵是实践中遇到比较多的矩阵。例如:电路中的许多矩阵,象电阻性网络中回路方程的阻抗矩阵图论中无向图的邻接矩阵等。这两种矩阵的性质与有关定理有许多共同之处。

  实数域上的一个阶矩阵A,如果A=A,则称A为对称矩阵。例如:

  (1)如果一个厄米特矩阵A的元素都是实数,则`A′=A′,厄米特矩阵就是对称矩阵。

  《物理学大辞典》编辑组编,物理学大辞典,中外出版社,1979年05月,第25页

  秦松喜编著,高等代数新编,厦门大学出版社,2005年08月第1版,第185页

  陈凯 麦学贤,实用工程数学 线性代数及其应用,水利电力出版社,1985年10月第1版,第280页