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反厄米特矩阵的一些特征

时间:2020-03-23 01:06

  反厄米特矩阵的一些特征_电子/电路_工程科技_专业资料。第3 5卷 湖北师 范学 院学报(自然科学版) J o u r n a l o f H u b e i N o r ma l U n i v e r s i t y( N a

  第3 5卷 湖北师 范学 院学报(自然科学版) J o u r n a l o f H u b e i N o r ma l U n i v e r s i t y( N a t u r l a S c i e n c e ) V0 l _ 3 5 第 4期 No . 4, 2 0 1 5 反 厄 米 特 矩 阵 的 一 些 特 征 曹元元 , 张 骞, 毛 亮 ( 湖北师范学院 数学与统计学院, 湖北 黄石 4 3 5 0 0 2 ) 摘要 : 研 究了反厄米特矩 阵( A‘=- A) 的相 关性质 , 并给 出了反厄米特矩阵的一些充要条件 关键词 : 厄米特矩 阵; 反 厄米特矩阵 ; 广义逆 中图分类号 : 0 1 5 3 文献标识码 : A 文章编号 : 1 0 0 9 - 2 7 1 4 ( 2 0 1 5 ) 0 4 - 0 0 8 8 - 0 6 d o i : 1 0 . 3 9 6 9 / j . i s s n . 1 0 0 9— 2 7 1 4 . 2 0 1 5 . 0 4 . 0 1 7 1 引言 与预 备 引理 厄米特矩阵和反厄米特矩阵是两类特殊形式 的矩阵, 在矩 阵理论及其应用 中有着非常重要的地 位- 1 】 . 近几年 , 随着应用的需要和研究的深入 , 酉矩阵、 厄米特矩阵、 H a m i l t o n 矩阵和广义逆矩阵之 间的关系及其在解矩阵方程中的应用已经取得了丰富的成果 - 3 “ 】 , 推广 了酉矩阵、 厄米特矩阵及广义 次对称矩阵的相应结果. 特别地 , 将正交阵的广义 C a y l e y 分解推广到了 k 一 广义酉矩阵和 k 一 广义厄 米 特矩 阵上 , 从 而统一 了各类厄 米 特矩 阵及 广义 逆 矩 阵.本文 将 进 一步 研 究 广义 厄 米 特矩 阵 中 的一 种特殊矩阵——反厄米特矩阵的相关性质和一些充要条件 , 从而对特殊矩阵的深入研究及其应用提 供有益的帮助. 下 面先给 出一些 必要 的记 号 , 再 给 出本文所 需要 的一些 引理. 本文用 A∈ C “ 表示复数域上 的所有 m×n阶矩阵组成 的集合 , 用A , A , r ( A) , ( A) , 分 别表示矩阵A 的共轭转置 , 转置 , 秩, 值域和 I t阶单位矩阵. o - ( A)表示矩阵A 的谱 , 即矩阵A 的所有 特征值组成的集合. = l b ∈ } 表示纯虚数 和 0 组成的集合( 其中 表示实数域) , 用 表 示 所有正 实数组 成 的集合 . 本文 中将 会涉及 矩 阵 A∈C “ 的 Mo o e r —P e n r o s e逆] , 用 A ∈C 表示 ; 矩阵 A ∈C “ 的 群 逆 J , 用A ∈C 表示 . 设 A∈C , 则A ∈ C 是唯一存在的, 且满足 以下四个矩阵等式 : 1 ) A A A= A, 2 ) A A A = A , 3 ) A A =( A A ) ’ , 4 ) A A =( A A) . 设 A∈ C , 则A ∈ C “ 满足以下三个矩阵等式 : 1 ) A A = A, 2 ) A AA = A , 3 ) A A = A 指数为 I 的矩阵称为 g r o u p m a t r i c e s [ 5 或者 C o r e m a t r i c e s …, 用c 表示所有 n阶指数为 1的矩阵组 成的集合 , 即c ={ A I A∈C , r ( A) = r ( A ) } . 矩 阵 A 的群 逆存 在 的充要 条件 是 A EC C M . 文中还将涉及到几种特殊 的矩阵 , 分别用 c , c , c 表示所有 r t 阶酉矩阵, 正规矩阵 , E P 一 阵 组 成 的集 合 , 即: 收 稿 B期 : 2 0 1 5 —O 9 — 一 o 8 基 金项 目: 国家 自 然科学基金 资助项 目( 1 1 2 7 1 1 0 5 ) , 湖北省教育厅重点资助项 目( D 2 0 1 2 2 2 0 2 ) 作者简介 : 曹元元( 1 9 8 9 一 ) , 女, 陕西渭南人 , 硕士 , 研究方向为矩阵分析 . ? 88 ? C ={ A I A ∈C , A A = f C ={ A I A ∈C , A A = A A} C E P ={ A I A∈ C , A A = A A} ={ A I A∈ C “ , ( A) = ( A’ ) } 近 些年来 , 国 内外 许 多学 者 如 : B a k s a l a r y , T r e n k k l e r , L i u等人运 用 [ 8 ]中推论 6提 出 的 ∑? K - L分 解解决 了 许 多特殊矩阵的问题 , 该分解如下: 引理 1 。 (∑. K - L分解 ) 设 A∈ C , 且r ( A) = r , 则存在酉矩阵 U E C “ 使得 A= ㈩ 其中 ∑ = d i a g ( 1 I …… , 1 1 ) , 1 > 2>… > j > O , r 】 +r 2 +: ? ? + =r , K∈C “ , L∈C KK +肛 =I r . 且 用 - K - L分解 , 我们容易得出: A = ( : 至 吕 ) K*  ̄- 1 c 2 ( 3 ) 由∑- K - L分解易知 , A 存在 K为可逆矩阵, 且 A * : f I 1 ∑ I 1 ∑ I 1 , 1 L 1 ? \ 0 0 / ( 4 ) ‘ 运 用 ∑- K - L分解 , 我们 可 以给 出前 面介 绍 的几种特 殊矩 阵 的刻 画. 引理 2 设 A∈ C , 且r ( A) = r , A有( 1 ) 式的分解形式 , 则: P c :  ̄ L =O a . )A ∈C E . . , b )A E C = 0 , ∑K= ∑. 2 反厄 米 特 矩 阵 的有 关 性 质 1 9 8 5 年R o g e r A . H o r n和 C h a r l e s R . J o h n s o n在 [ 1 ] 中给 出了厄米特 矩阵和反厄米特矩阵的定 义, 并研究了厄米特矩阵的性质及特征. 类似的我们先给出反厄米特矩阵的一些性质 , 再给出反厄米 特矩阵的有关特征. 设矩阵A∈ C , a ) 当 A’ = A时, 称矩阵A为 n阶厄米特矩阵 ; b ) 当 A’=一 A时, 称矩阵 A 为r t 阶反厄米特矩阵. 分别用 C 和c S i t 表示所 有 阶 n厄米 特矩 阵 和所有 n阶反 厄米 特矩 阵组 成 的集合 , 即 c ={ A I A E C “ , A = A} , c, q . l t ={ A I A∈ C “ , A =一 A} 定理 l 设矩阵 A∈ c 若 A∈ C 那么 a ) 对 V ∈C , 有 口 gi R, b ) ( A) _i C R, c ) 对 V ∈C , 有 s‘ A ∈C . 证明 a ) 因为A E C ¥ / / , 即A =一 A, 所以对 V t r ∈ C , 有( ’ A t r ) ’ = ’ A =一 A t r , 从而 口 ∈i R . b ) 设 为矩阵 A 的属于特征值 A的特征向量 , 即有A = Z t r ( t r #0 ) , 所以 t r A = ’ A 口=  ̄ t r ' a, 又 由a ) 有口 仨i R , 且口 ∈ , 所 以 A∈ i R, 从而( A) c _i R. c ) 由 A∈C S t t 得A =一 A, 所 以对 V S E C 有( AS ) = A’ =一J s ’ AS , 即S A S∈C S t t . 在定理 l 的基础上我们可 以得到 A∈ C S t t 的一些充要条件 , 即下面的定理 2 , 定理 3 . 定理 2 设矩阵 A仨C , 则 以下各命题彼此等价 : ? 8 9? a ) i t ∈C ; b ) 对V ∈C , 有 仨i N; c ) a∈C , 且 ( A) i R; d ) 对 VS∈C , 有S A S∈C . 证明 a ) b ) 定理 1 a ) 已给 出证 明. 下 面只需证 明 b ) c ) , c ) j d ) , d ) a ) 即可 . b ) c ) 若对 Va∈C , 有o ; Ao  ̄ ∈i R. 贝 0 对 Vo t , ∈C , A =( 口 ) , ( 口 ∈C , i =1 , 2 , …, n , _ 『 =1 , 2 , …n ) 有 ( + 卢) A( 口+ )= A a+ 所 以 + 卢 A a ∈i R. p+ A a+ 卢 ∈ , A口E i R, ∈i R 令 = = ( 即第 j } 行为 1 , 其余 元 素为 0的 n行 1 列矩 阵 ) , = e ( j } =1 , 2, …, n , f =1 , 2 , …n) . 计 算可得 ’ + 卢 Ao e =0 肼+ 口 ∈i R 可得 ( 5 ) 再令 = , = i e 则 =( 0 …O , 一 i , O …O )( 第z 列为 一 £ , 其余元素全为 0的 1 行n 列矩阵) , 计算 口 + A =i a “一i * ∈i N ( 6 ) 组合 ( 5 ) ( 6 ) 计算得出 口 = 一 口+b i =一口 “ ( V| j } , Z ) , 所以A = 一 A, 从而A A =一 A = A A , 即 A∈ C , 且 由定理 1 b ) 可得 o - ( a) . ( c ) ( d ) 若A∈C , 则j U∈C , 使得A=U AU 其 中A = d i a g ( A , A : , …, A ) , 则A =U A U, 其中A = d i a g ( A , A : , …, A ) , 又( A) i R, 所 以五 =一 A i , 所 以A’ =- A, 即A∈ C 再由定理 1 c ) 可得对 V S E C “ , 有S A S∈C . d ) a ) 若V S∈ c 有s A S E c , 则取 = j , 就有 A E C . 定理 3 设 矩 阵 A E c “ , 则A E c¥ f t 当且 仅 当 A , A ∈c . 证明 论. 下 面只给 出 A ∈c ∈c 的证 明 , 对 于 A ∈C e , A ∈C 可用 类 似 的方 法 得 出结 ” ”设 A∈ C S I t , 即 A’=一 A 则( A ) =( A ) =( 一 A ) =一 A , 即A E C . ” 乍 ”设 A ∈C S H , 即( A ) =( A’ ) = 一 A =(一 A) , 所 以 A’ =一 A 即 A∈C S / / ' 。 下面 我们 给出反 厄米 特矩 阵 的一个 性质. 定理 4 设 A E c , 若 A∈ C 则矩阵A 的属于不同特征值的特征向量一定正交. 证明 设, y 分别为属于A 的特征值 A , A : ( A ≠A : ) 的特征向量 , 若 A∈ C , 则 由定理 1 b ) 知A , A 2 E , 所 以 ( a y )= A 2 y= A 2 ’ ) , , ( A x ) y=( A 1 ) Y=一A 1 ’ , , , 且 由 A’=一 A 可得’ ( A y ) = ’ ( 一 A ) Y =一( ’ A ) Y =一( A x ) ’ Y, 所以 A 2 Y =一( 一 A l Y ) = A 1 Y , 即A 2 Y — A 1 ‘ y = ( A 2 一 A 1 ) y = 0 ( A 1 ≠A 2 )所 以 y = 0 , 即龙 , , , 彼此正交. 3 反厄米特矩阵的一些 特征 下 面运用 矩 阵的 ∑一 K - L分解 给 出反厄 米特矩 阵 的一 些刻 画. ? 9 0? 定理 5 设 A∈ C , 且r ( a) = r , A 有( 1 ) 式的分解形式 , 则: A ∈C ∈c , =一 证明 “ j ” A E C S / / , 显 然 A∈C , 所 以 由引理 2有 = 0,∑K =K∑ 由( 1 ) ( 2 ) 有 从而 ( \ L : 至 ∑ 0 。 ) / u = u ( \ 一 0 ∑ 一 0 ∑ ) / ( 7 ) ( 8 ) ∑= ∑ = 一∑K 这样 , 由( 7 ) ( 8 ) 式 可得 = 一 . “ 仁” 设 A∈ c , =一 , 则计算可得 眉l 1 ∑= K ∑ =一∑ , 所以 【 , ( : 至 ) ’ = ( 一 一 L ) , 即 A ∈ c . 注: 若 A∈ C S i t , 则 K为可逆矩阵 , 从而 A 存在. 在定理 5的基础上我们可 以得到了一些新的A∈ C 的充要条件 , 即定理 6 , 定理 7 和定理 8 . 定理 6 设 A∈C , 且r ( A)= r, 则 以下各命 题彼 此 等价 : a ) a E C , b ) A A= A A=一 A c )A A = 一A. 证明 a ) b )由定义 直接 得 出. = 0 ,∑K = K∑ , 由 b ) ja )设 A 有 分解 式 ( 1 ) 式, 若A A = A A=一 A , 由引 理 2 b ) 知A E c A A’ =一 A 结合( 1 ) ( 2 ) 计算可得 ∑ =一∑ 蜀, 从而 A’=一 A, 即A E C S H . a ) c ) 设 A有分解式( 1 ) 式, 若 A∈ c , 即A=一 A’ , 则 由定理 3知 A仨 C M I , E C: , =一 J , 由引理 2 b ) 知A E c 铮L= o , ∑ = K∑, 故结合( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 计算可得 A 。 = ( ∑ = 一∑ , 从 而 A’=一 A, 即 A ∈c . o 吕 = ( 三 = A = 一 A c ) ja ) 设A有 分 解 式 ( 1 ) 式, 若A A =一 A , 则 足( A ) R( A), 而r ( A )=r ( A) , 所以 R ( A )= R ( A), 即矩阵 A∈C E P , 由引理 2 a ) 可得 L= O , 结合 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 由A 。 A =一 A 可得 ’ 定理 7 设矩阵A∈ C“ , 且r ( a) = r , 则以下各命题彼此等价 : a )A E C , b ) a A A=一 A . c ) a’ A A =- A. d ) A A A =- A, e ) A A A =- A, f )A A A =- A, g )A A A’= - A , h ) a A = 一 A A . i ) a A =一 A A . 证明 下 面只给 出 a )甘 b ) , a )营 d ) , a )铮 h ) 的证 明过程 , 对于 a )篇 c ) 可用 类 似于 a )舒b ) 的方法 证明, a )舒 e ) ,a ) 甘 f ) , a )甘g ) , a )铮 i ) 可用类 似 于 a )甘 d ) 的 方法证 明. a ) b ) 设 A有分解式( 1 ) 式, 若 A∈ C , 由定理 5知 A∈C § A E C N , =一 I r , 由引理 2 b ) 知 A∈ c 甘 乞= 0 , ∑ = K ∑, 结合 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 计算可得 ) ( 三 ( 一 = 一 A b ) a ) 设 A有分解式 ( 1 ) 式, 若A A’ A=一 A, 则豫( A) ( A’ ) , 而r ( A’ )= r ( A) 所以 ( A) ( A’ ) , 即矩阵 A E C E P , 由引理 2 a ) 知 L= O , 所以由A A A=一 A结合 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 计算可得 K ∑ =一x g, 从而 A’ =- A, 即A E c . a ) d ) 类似于 a ) b ) 直接计算可得 , 下证 d )ja ) : 设 A 有分解式( 1 ) 式, 若A A A =一 A, 则结合( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 计算有 ( u : 至 : : : 至 = K 0三 = 一 ( - L= 0且 ∑ = 一∑K , 从 而 A’= 一 A, 即 A∈C . a ) h )类似于 a ) b ) 直接计算可得 , 下证 h ) a ) : 设 A有分解式( 1 ) 式, 若A A =一 A A , 则结合( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 计算有 L, E- 1 = Z L I ( K " 7  ̄ 一 I 故K x g’ ∑~=一 且 L ’ xg ∑_ = O , 所以r ( g ∑ ’ ∑ ) = r , 得r ( xg ∑I 1 ) ≥r 从而 r ( xg’ ∑一 )= r , 所 以 L= 0且 K’ ∑ =一 xg, 所以A =一 A, 即 A∈C S H . 定理 8 设矩阵 A∈ C “ , 且r ( A) = r , 则以下各命题彼此等价 : a ) A∈C , b ) A’ A =一 A. c ) A’ A A = 一 A. d ) A a =一 A. e ) A# A A= 一 A, r ) A’ A =一 A A . g ) A’ A =一 A A. 证明 下面只给出 a ) 铮b ) , a ) 学d ) , a ) §f ) 的证明, 而对于 a )甘c ) 可类似于 a ) 甘b ) 得到证明, a ) 铮e ) a ) 营g ) 可类似于 a ) 甘 d ) 得到证明. a ) §d ) , a )甘e ) , a ) 铮g ) 可用类似于 a ) 铮f ) 的方法得到证明. a ) b ) 设 A有分解式( 1 ) 式, 若 A∈ C s i t , 由定理 5 知, A∈ C ∈ C , =一 . 由引理 2 b ) 知A E C = o , xg = ∑结合 ( 1 ) ( 2 ) ( 4 ) 计 算可 得 … \ 0 0 / = u ( 一 K \ 0 o / 一 A b ) a ) 设A 有分解式( 1 ) 式, 若A’ A =一 A, 则R ( A) R( A’ ) 而” ( A’ ) =” ( A) 所以 R ( A ) = R( A) , 即矩阵 A∈ C E P , 由引理 2 ( 口 ) 可知 L= 0 , 若A A =一 A, 则结合 ( 1 ) ( 2 ) ( 4 ) 计算可得 ? A A : u f K ’ ∑ ∑ I 1 ∑ o 1 u + : u f 一 ∑ 0 \ u ? : 一 A 所 以 L= O且 K∑ =一∑ , 从而 A =- A, 即 A ∈C E P . a ) d ) 类似 于 a ) b ) 直 接计 算可 得 , 下证 d ) a ) : 设 A有分解式( 1 ) 式, 若A A =一 A, 则结合 ( 1 ) ( 2 ) ( 4 ) 有 ( 。 - t K - t L ( - 一 X ∑ ’ 、 计 算 可得 L= 0且 ’ ∑ =一xg, 从而 A’= 一 A, 即 A∈C E P . a ) f ) 类似 于 a ) b ) 直 接计 算可 得 , 下证 f ) a ) : 设 A有 分僻式 ( 1 ) 式, 若A A =一A A , 则结合 ( 1 ) ( 2 ) ( 4 ) 有 ( : 至 三 ) ( 参 考文献 : ∑  ̄ ' K - I L ) ’ = - E , 三 八 K 1 ∑ L ) 计算可得 K’ E K一 ∑~=一 , 且 ’ E K ∑~= O , 所以r ( g E K ∑I 1 ) = r , 得r ( EKI 1 ∑ ) ≥ r , 从而 r ( zg ∑ ~ ):r , 所 以 L= O且 K∑ =一EK, 从而 A =一 A, 即A E C S H. [ 1 ] H o n r R A, J o h n s o n C R . Ma t r i x A n a l y s i s [ M] . L o n d o n : c a mb i r d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 8 5 . [ 2 ] J  ̄n S K, G u n a w a r d e n a A D . L i n e a r A l g e b r a [ M] . B e i j i n g : c h i n a Ma c in h e P r e s s , 2 0 0 3 . [ 3 ] 袁晖坪. 广义酉矩 阵与广义 H e r mi t e矩阵 [ J ] . 数学 杂志 , 2 0 0 3 , 2 3 ( 3 ) : 3 3 7 5~3 8 0 . [ 4 ] 袁晖坪 , 王行 荣. k一广义 H e r m i t e矩阵及其在矩阵方程 中的应 用 [ J ] . 吉林大 学学报 ( 理学版 ) , 2 0 1 2 , 5 0 ( 1 ) : 5 9~ 6 2. [ 5 ] Wa n g G,We i Y,Q i a o S .G e n e r l a i z e d I n v e se r s : T h e o r y nd a C o mp u t a t i o n [ M] . B e i j i n g : S c i e n c e P r e s s , 2 0 0 4 . [ 6 ] D r a z i n M P . N a t u r l a s t r u c t u r e s o n s e m i g r o u p s w i t h i n v o l u i t o n [ J ] . B u l l A m e r M a t h S o c , 1 9 7 8 , 8 4 : 1 3 9~ 1 4 1 . [ 7 ] M i t r a S K .N o n c o r e s q u re a m a t r i c e s m i s c e l l ny a [ J ] . L i n e r a A l g e b r a A p p l , 1 9 9 6 , 2 4 9: 2 4 9 ̄ 2 6 0 . [ 8 ] H a r t w i g R E, S p i n d e l b  ̄ e k K .Ma t r i c e s f o r w h i c h A a n d A c o m m u t e [ J ] . L i n e a r Mu h i l i n e a r A l g e b r a , 1 9 8 4, 1 4 : 2 4 1 — 2 5 6 . [ 9 ] B a k s a l a r y O M, S t y a n G P H, T r e n Me r G.O n a ma t r i x d e c o m p o s i t i o n o f H a r t w l n g a n d S p i n d e l b  ̄k [ J ] .L i n e a r lg A e b r a A p p l , 2 0 0 9, 4 3 0 ( 1 0 ) : 2 7 9 8— 2 8 1 2 . So me p r o t e r t i e s o f s k e w — — He r mi t i a n C A O Y u a n — y u a n , Z H A N G Q i a n , MA O L i a n g ( C o l l e g e o f M a t h e ma t i c s a n d S t a t i s t i c s , H u b e i N o r m a l U n i v e r s i t y , Hu a n g s h i 4 3 5 0 0 2 , C h i n a ) A b s t r a c t : We s t u d y s e v e r a l c h a r a c t e i r s i t c s o f he t s k e w—H e r m i t i n a ma t r i x( A ’= - . 4 ) i n t h i s p a p e r , nd a s i v e s s o m e s u ic f i e n t a n d n e c e s s a r y c o n d i i t o n s or f t h e s k e w —He r mi t i n a ma t r i x . Ke y wo r d s :He r mi t i a n ma t r i x ;s k e w —He r ml t i n a ma t r i x ;g e n e r a l i z e d i n v e r s e ? 9 3?