欢迎您光临某某医疗机构!

Hermite矩阵与反Hermite矩阵doc

时间:2020-03-23 01:05

  Hermite矩阵与反Hermite 矩阵 Hermite矩阵是矩阵类中的一种特殊形式,它在矩阵理论中处于重要的地位, 尤其是在酉空间、酉变换及复系数二次型的应用中起着主导的作用,它一方面是 对实对称矩阵的推广,另一方面它在复矩阵的地位相当于实数在复数C 的地位, 复矩阵中的Hermite 矩阵与实对称矩阵在其性质和证明方法上都十分的相似,本 文主要从 Hermite 矩阵和反 Hermite 矩阵的定义、性质、基本定理和 Hermite 阵的正定性四个方面讨论Hermite矩阵和反Hermite 矩阵. 关键词:Hermite 矩阵;反Hermite 矩阵;正定性;酉矩阵. Abstract Hermitematrix forms specialclass matrixtheory.It occupies importantposition matrixtheory leadingrole,especially unitaryspace,unitary transformation quadraticform onehand,it realsymmetric matrix otherhand,the staues complexmatrix comes up realnumber pluralform proof,Hermite matrices realsymmetric matrix verysimilar. concernedabout definition,nature,fundamentaltheorem Hemitematrix anti-Hermitematrix positivedefiniteness Hermitematrix. Key words:Hermite matrix;Anti-Hermite matrix;Positive definite;Unitary matrix 一、引言(01) 二、Hermite 矩阵和反Hermite 矩阵的定义 (01)三、Hermite 矩阵的性质定理 (一)Hermite 矩阵的性质 (02) (二)Hermite 矩阵的定理 (02) (三)Hermite 矩阵的正定性 (05)四、反Hermite 矩阵的性质定理 (一)反Hermite 矩阵的性质 (14)(二)反Hermite 矩阵的定理 (15)五、结论 (20) 参考文献 (21)致谢 Hermite矩阵与反Hermite 矩阵 一、引言 众所周知,矩阵理论在历史上至少可追溯到 Sylvester Cayley,特别是Cayley1858 年的工作.近代数学的一些学科,如代数结构理论与泛函分析可以在 矩阵理论中寻到它们的根源,另一方面,随着计算机的广泛应用,矩阵理论在不 断地发展,矩阵已成为处理数值问题的有力工具. 作为数学的一个重要分支,矩阵理论具有极为丰富的内容,在数学以及其他 科学技术领域都有十分重要的应用,如数值分析、最优化理论、运筹学与控制论、 概率论与数理统计、力学、电学、信息科学、管理科学与工程技术等都与矩阵理 论有着密切的关系.对称矩阵是一类非常重要的矩阵,近年来,在矩阵理论中, Hermite 矩阵的应用越来越广泛,对其研究也取得很大的进展.在复矩阵中, Hermite 矩阵实际上是实对称矩阵的推广,它在复矩阵中的地位相当于实数在复 数中的地位,本文主要从Hermite 矩阵和反Hermite 矩阵的定义、性质,基本定 理以及 Hermite 矩阵正定性几个方面讨论 Hermite 矩阵和反 Hermite 矩阵并给出 了相关的证明,来加深对矩阵理论的理解,从而能更好地使用这些工具. 二、Hermite 矩阵和反Hermite 矩阵的定义 定义 是一个n阶复矩阵,即 则将称A为Hermite 矩阵.若 ,则称之为反Hermite矩阵. 定义 是一个n阶Hermite 矩阵,若对于任一非零的n 维复向量X 为Hermite正定矩阵. 定义 是一个n阶复矩阵, 为正规矩阵.定义 是一个n阶复矩阵, 则将称A为酉矩阵,它的行列式的绝对值等于1. 三、Hermite 矩阵的性质定理 (一)Hermite 矩阵的性质 由Hermite 矩阵的定义可知,Hermite 矩阵具有如下简单的性质 都是Hermite矩阵; (2)如果A 是Hermite 矩阵,则对正整数k 也是Hermite矩阵; (3)如果A 是可逆Hermite 矩阵,则 也是Hermite矩阵; (4)如果A Hermite矩阵,则对实数k 也是Hermite 矩阵; (5)如果A 是Hermite矩阵,则A 是Hermite矩阵的充分必要条件是 Hermite矩阵的充分必要条件是对于任意n 阶方阵S Hermite矩阵. (二)Hermite 矩阵的定理 定理 3-1 Hermite矩阵的充分必要条件是对于 任意 是实数;证明 必要性 因为 是实数.充分性 因为对于任意X 是Hermite矩阵. 定理3-2 (Hermite矩阵的谱定理) 是给定的,则A是Hermite 矩阵当且仅当存在一个酉矩阵 均为实数,此外,A是实Hermite 矩阵(即实对称的),当且仅当存在一个实正交矩阵 均为实数.虽然Hermite 矩阵的实线性组合总是Hermite 矩阵,但它们的复线性组合就 不一定是Hermite 矩阵,例如,如果A 是Hermite 矩阵,那么,只有当 才是Hermite矩阵.另外,如果A 是Hermite矩阵,那( 可交换.定理3-3 阶Hermite矩阵,则 的不同特征值所对应的特征向量是互相正交的.证明 阶Hermite矩阵,由定理3-2 可知A 必酉相似于实对角矩 ,即存在n阶酉矩阵U ,使得 所以l为实数. 因为A是Hermite 矩阵,l 正交.定理3-4 (Hermite矩阵的惯性定理) 阶Hermite矩阵,则H(复) 合同与 唯一确定.其中A称为H 的规范型, 表示n阶单位矩阵,p 分别称为H的正惯性指数、负惯性指数和符号差. 注:由惯性定理导出的Hermite 矩阵的正惯性指数、负惯性指数及符号差等, 不仅是代数学中的重要内容,而且在几何学、物理学中都有许多重要的应用,构 成几何对象及物理对象的“指标”或“守恒量” 下面讨论一下Hermite矩阵的正定性. (三)Hermite 矩阵的正定性 在讨论Hermite 矩阵的正定性之前,我们先来引入矩阵的UR 分解定理及其 引理. 矩阵UR 分解定理 角线上元素全是正的).引理 是正线上三角阵,又是酉矩阵,则A是单位阵. 与实对称矩阵一样,同样我们可以利用 Hermite 二次型的正定,来定义 Hermite 矩阵的正定. 定义 (3-1)其中 ,称为Hermite二次型.记 Hermite矩阵.我们称矩阵A Hermite二次型矩阵,并且称A Hermite二次型的秩.于是,Hermite 二次型(3-1)可改写成 ,因此,一个Hermite 二次型与一个 Hermite 矩阵相对应. 如果对任一组不全为零的实数 次型齐式是正定的(非负定的),并称相对应的Hermite 矩阵A 是正定的(非负 正定(非负定)矩阵具有如下基本性质:(1)单位矩阵 显然这些基本性质可以由定义直接推导得出,下面我们给出Hermite矩阵A 正定(半正定)的条件. 定理3-5 阶Hermite矩阵, 是正定矩阵;(2)对任意n 阶可逆矩阵P 都是Hermite正定矩阵; 个特征值均为正数;(4)存在n 阶可逆矩阵P ,使得 (5)存在n阶可逆矩阵Q ,使得 (6)存在正线上三角矩阵R,使得 ,且分解是唯一的;(7)存在n 阶可逆Hermite 矩阵S ,使得 证明首先按( 对任意n阶可逆矩阵P 及任意 是Hermite正定矩阵; 对Hermite矩阵A ,存在酋矩阵U 使得 (3-2)其中 因为A的特征值 因为存在n阶可逆矩阵P 使得 ,其中Q为可逆矩阵,根据矩阵 UR 分解定理得到 是酉矩阵,R是正线上三角阵,因此 现证分解的唯一性:设A有两种正线上三角分解,即 由于R为正线上三角阵,故当 是正定的.下面证明( 因为存在n阶可逆矩阵Q ,使得 的任一特征值,x为相应的特征向量,则 因为A是正定矩阵,所以 .因此A的特征值均为正 数.由(3-2)得 阶可逆Hermite矩阵,并且 因为存在n阶可逆 Hermite 矩阵S 使得 是正定矩阵.定理3-6 阶Hermite矩阵,则下列命题等价 是非负定矩阵;(2)对于任何n 阶可逆矩阵P ,都有 是Hermite非负定矩阵; 个特征值均为非负数;(4)存在n 阶可逆矩阵P ,使得 阶矩阵Q使得 的证明与定理1相似; 所以A是半正定的. 定理3-7 阶Hermite矩阵A 为正定(非负定)矩阵的充分必要条件是A 10所有特征值都是正数(非负数). 证明 必要性 的任一特征值,x是对应的单位特征 向量,于是 充分性由定理3-2 知,存在酉矩阵V ,使得 )都为正数(非负数),则对任意n维非零向量X 定理3-8 Hermite矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是存在n 异矩阵P,使得 证明充分性显然成立. 必要性 由定理3-2 知,存在酉矩阵V ,使得 ,则由定理3-7可知, 若将条件中的“非奇异”去掉就得到A为非负定矩阵的充分必要条件,即得 阶Hermite矩阵A 为非负定矩阵的充分必要条件是存在n 是任一n阶非奇异矩阵,则 11定理3-10 阶正定Hermite矩阵A 的各阶顺序主子矩阵都是正定矩阵. 证明 阶顺序主子矩阵,x是任意k 维非零向量( 维零向量,将A作如下分块: 是正定矩阵.定理3-11 阶Hermite矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是A 的顺序主子 式均为正数,即 证明必要性 的各阶顺序主子式都是正定矩阵,故它们的行列式均为正数,即A 的顺序主子式均为正数. 充分性 对矩阵阶数作归纳法,阶为1 时结论显然成立,假设阶为n 论成立,对n阶Hermite 矩阵A ,我们作如下分块 ,于是12 ,这说明了n阶时结论成立,从而证明了充分性. 定理3-12 阶Hermite矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是A 的所有主子 式全大于零. 证明 充分性由定理3-11 可得 必要性 的任一k阶主子式 都是n阶Hermite 矩阵,且B (3-4)证明 由定理3-8 知,存在非奇异矩阵P ,使得 亦为Hermite矩阵,故有酉矩阵U 非奇异,从而由(3-4)和(3-5)知(3-6)成立.定理3-14 是正定(非负定)Hermite矩阵,则存在唯一的正定(非负 定)Hermite 矩阵H ,满足 证明因为A 是正定(非负定)Hermite 矩阵,故 其中U是酉矩阵, 是唯一的.设还有一个正定Hermite 矩阵 (3-7)设酉矩阵 代入(3-7)得14 四、反Hermite矩阵的性质定理 (一)反Hermite 矩阵的性质 根据反Hermite 矩阵的定义可知,不难得出反Hermite 矩阵具有如下一些性 是反Hermite矩阵; (2)如果A 是反Hermite 矩阵,则 是反Hermite矩阵; (3)如果A 是反Hermite 矩阵,则对正整数k 是Hermite矩阵; (4)如果A 是反Hermite 矩阵,则A 的奇数次方也是反Hermite 矩阵; 是反Hermite矩阵,则对实数k 也是反Hermite矩阵; (6)如果A 是反Hermite矩阵,则A 是反Hermite矩阵的充分必要条 是反Hermite矩阵的充分必要条件是对于任意n 阶方阵S 反Hermite矩阵. 15 (8)偶数阶反Hermite 矩阵的行列式为实数,奇数阶反Hermite 矩阵的行列 式为复数; (9)若反Hermite 矩阵A 可逆,则 也是反Hermite矩阵 (10)若A 是Hermite 矩阵,则i 是反Hermite矩阵(i (11)若A是反Hermite 矩阵,则i 是Hermite矩阵(i Hermite部分,而 Hermite部分; (二)反Hermite 矩阵的定理 定理4-1 每个 都是Hermite矩阵. 证明 Hermite矩阵和反 Hermite 矩阵的基本性质可知, 都是Hermite 矩阵,根据唯一性论断,我们知道,如果 都是Hermite矩阵,那么 定理4-2 任一个n 阶矩阵都可表示为一个Hermite 矩阵和一个反 Hermite 矩阵之和. 证明 设任一个n ,由于16 是Hermite矩阵, 是反Hermite矩阵. 定理4-3 的伴随矩阵)是偶数阶反Hermite矩阵,则 是反Hermite矩阵; 是反Hermite矩阵. 证明 Hermite矩阵,即 ,由反Hermite矩阵的性质(8)知 是反Hermite矩阵; 是反Hermite矩阵. 定理4-4 是反Hermite矩阵,则 的主对角线 ()对任何 还是反Hermite矩阵. 证明 ()设复矩阵 由于A是反Hermite 矩阵,即 的主对角线或纯虚数; ()对任意 ,因为A是反Hermite 矩阵,即 是反Hermite矩阵, 还是反Hermite矩阵. 推论 Hermite矩阵,则对任意 角线 ,存在一个n阶酉矩阵U 和一个上三角矩阵 其中R的对角元素是A 的特征值. 定理4-6 阶反Hermite矩阵,则存在一个n 阶酉矩阵U ,使得 的纯虚数特征值.证明 由定理4-5 可知,存在一个n 阶酉矩阵P ,使得 其中R是上三角矩阵,记 18 ,即存在n阶酉矩阵U ,使得